Question

【題目】在直三棱柱中，，，，點是的中點．

（1）求異面直線，所成角的余弦值；

（2）求直線與平面所成角的正弦值；

（3）求異面直線與的距離．

Answer 1

【答案】（1）．（2）．（3）

【解析】

根據已知條件以，，為，，軸建立按直角坐標系，寫出相關點的坐標，(1)由各個點的坐標寫出相應向量，，代入向量夾角公式，即可求出異面直線，所成角的余弦值；

(2)先設平面的法向量為并求出法向量為，再利用直線與平面所成角為的正弦值即可求出；

(3) 連接交于點，連接，可得，即平面，所以異面直線與的距離可轉化為點到平面的距離，根據點到平面的距離公式即可求出距離.

解：以，，為，，軸建立按直角坐標系，

則各點的坐標為，，，．如圖：

（1）所以，，

所以．

故異面直線和所成角的余弦值為．

（2），，設平面的法向量為．

則即，取，得．

設直線與平面所成角為，則．

所以直線與平面所成角的正弦值為．

（3）連接交于點，連接，易得，

所以平面，故點到平面的距離即為所求異面直線距離．

記點到平面的距離為，則．

所以異面直線與的距離為．