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【題目】一個幾何體的三視圖如圖所示，若該幾何體的外接球表面積為，則該幾何體的體積為( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】

先將幾何體還原得四棱錐P-ABCD，做底面中心的垂線，通過列方程找到球心的位置，進而再求四棱錐的高，從而可得體積.

由三視圖可知該幾何體為四棱錐P-ABCD，其中ABCD是邊長為2的正方形，側面PBC垂直于底面ABCD，為等腰三角形.

設BC的中點為F，四邊形ABCD的中心為點H，連接PF,FH，過點H作平面ABCD的垂線，則球心在該直線上，即為點O，過點O作于點E，連接OP.

設四棱錐P-ABCD的外接球半徑為R，由其表面積為，得，解得.

設OH=x，則在直角三角形OHB中，有，解得.

在直角三角形POE中，，所以，解得.（負值已舍去）

所以PF=PE+EF=2.

所以四棱錐P-ABCD的體積.

故選B.

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