Question

如圖，四棱錐P-AB-CD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2

2

，PA=2，E是PC上的一點，PE=2EC．證明：PC⊥平面BED．

Answer 1

考點：直線與平面垂直的判定

專題：計算題,空間位置關(guān)系與距離

分析：先由已知建立空間直角坐標系，設D（

2

，b，0），從而寫出相關(guān)點和相關(guān)向量的坐標，利用向量垂直的充要條件，證明PC⊥BE，PC⊥DE，從而利用線面垂直的判定定理證明結(jié)論即可．

解答： 解：以A為坐標原點，建立如圖空間直角坐標系A-xyz，
設D（

2

，b，0），則C（2

2

，0），P（0，0，2），E（

4 2

3

，0，

2

3

），B（

2

，-b，0）
∴

PC

=（2

2

，0，-2），

BE

=（

2

3

，b，

2

3

），

DE

=（

2

3

，-b，

2

3

）
∴

PC

•

PE

=

4

3

-

4

3

=0，

PC

•

DE

=0
∴PC⊥BE，PC⊥DE，BE∩DE=E
∴PC⊥平面BED．

點評：本題主要考查了利用空間直角坐標系和空間向量解決立體幾何問題的一般方法，線面垂直的判定定理，有一定的運算量，考察了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．