Question

已知函數g（x）=（

1

3

）^x，
（1）求關于x的函數y=[g（x）]²-2ag（x）+3（a≤3），當x∈[-1，1]時的最小值h（a）；
（2）我們把同時滿足下列兩個性質的函數稱為“和諧函數”：①函數在整個定義域上是單調增函數或單調減函數；②在函數的定義域內存在區間[p，q]（p＜q），使得函數在區間[p，q]上的值域為[p²，q²]．
（Ⅰ）判斷（1）中h（x）是否為“和諧函數”？若是，求出p，q的值或關系式；若不是，請說明理由；
（Ⅱ）若關于x的函數y=

x2-1

+t（x≥1）是“和諧函數”，求實數t的取值范圍．

Answer 1

考點：指數函數的圖像與性質,指數函數綜合題

專題：函數的性質及應用

分析：（1）將f（x）看成關于x的方程，求出x，將x，y互換得到g（x）．
（2）通過換元，將函數轉化為關于t的二次函數，求出對稱軸，通過對對稱軸與區間位置關系的討論，求出最小值g（a）．
（Ⅰ）據和諧函數的定義，列出方程組，求出p，q滿足的條件．
（Ⅱ）根據新定義，構造不等式組，解得即可

解答： 解：（1）由已知得：y-2a(

1

3

)x+3，（a≤3），當x∈[-1，1]
令t=（

1

3

）^x，則t∈[

1

3

，3]，y=t²-2a+3，
1）當a＜

1

3

時，h（a）=y=（

1

3

）=

1

9

-

2a

3

+3=

28

9

-

2a

3

，
2）當

1

3

≤a≤3時，g（a）=y（a）=3-a²，
∴h（a）=

28 9 - 2a 3 ，(a＜ 1 3 ) 3-a2，( 1 3 ≤a≤3)

，
（2）（Ⅰ）對（2）中h（x）=

28 9 - 2x 3 ，(x＜ 1 3 ) 3-x2，( 1 3 ≤x≤3)

，易知g（x）在（-∞，3]上為減函數，
1）若p＜q＜

1

3

時，h（x）遞減，若是“和諧函數”，
則

28 9 - 2p 3 =q2 28 9 - 2q 3 =p2

，
∴p+q=

2

3

與p＜q＜

1

3

矛盾；
2）若

1

3

≤p＜q≤3時，則

3-p2=q2 3-q2=p2

，即-p²+q²=q²-p²恒等．
此時滿足題意，所以這樣的p，q存在；
3）若p＜

1

3

，

1

3

≤q≤3，則

28 9 - 2p 3 =q2 3-q2=p2

，即

28-6p=9q2 q2=3-p2

，
∴28-6p=9（3-p²），
∴9p²-6p+1=0，
即p=

1

3

與p＜

1

3

矛盾，∴p，q滿足：

1 3 ≤p＜q≤3 p2+q2=3

（Ⅱ）∵y=

x2-1

+t（x≥1），在[1，+∞）上單增，由“和諧函數”的定義知：該函數在定義域[1，+∞）內，存在區間[p，q]，（p＜q），
使得該函數在[p，q]，上的值域為[p²，q²]，所以p≥1，

p2-1 +t=p2 q2-1 +t=q2

，
∴p²，q²為方程

x-1

+t=x的二實根，
即方程x²-（2t+1）x+t²+1=0在[1，+∞）上存在兩個不等的實根，且x≥t恒成立，
令u（x）=x2-（2t+1）x+t²+1，
∴

△＞0 2t+1 2 ＞1 u(1)≥0 t≤1

，
∴

t＞ 3 4 t＞ 1 2 (t-1)2≥0 t≤1

，
解得

3

4

＜t≤1
∴實數t的取值范圍（

3

4

，1]

點評：本題考查新定義題，關鍵是理解透題中的新定義，求分段函數的函數值關鍵是判斷出自變量所屬的范圍，屬于難題