Question

設函數f（x）=mx²-mx-1．
（1）若對于一切實數x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍；
（2）對于x∈[1，3]，f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用函數恒成立問題的解決方法列出關于實數m的不等式是解決本題的關鍵，要注意對二次項次數的討論，是二次不等式問題要注意二次不等式與二次函數之間的互相轉化；
（2）函數在區間上恒成立問題，要轉化為函數在給定區間上的最值問題，通過求解函數的最值，列出關于實數m的不等式，達到求解該題的目的．
解答：解：（1）要使mx²-mx-1＜0恒成立，
若m=0，顯然-1＜0；
若m≠0，則有⇒-4＜m＜0．
∴-4＜m≤0．
（2）當m=0時，f（x）=-1＜0顯然恒成立；當m≠0時，該函數的對稱軸是x=，f（x）在x∈[1，3]上是單調函數．
當m＞0時，由于f（1）=-1＜0，要使f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（3）＜0即可．
即9m-3m-1＜0得m＜，即0＜m＜；
當m＜0時，若△＜0，由（1）知顯然成立，此時-4＜m＜0；若△≥0，則m≤-4，
由于函數f（x）＜0在x∈[1，3]上恒成立，只要f（1）＜0即可，此時f（1）=-1＜0顯然成立，綜上可知：m＜．
點評：本題考查函數恒成立問題的解決思路和方法，考查函數與不等式的綜合問題，考查二次函數與二次不等式的互相轉化問題，考查學生的轉化與化歸的思想和方法、解不等式的思想，考查學生分析問題解決問題的能力．