Question

設函數f（x）=mx²-mx-1．
（1）若對于一切實數x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍；
（2）對于x∈[1，3]，f（x）＞-m+x-1恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對參數m進行討論，同時利用判別式，建立不等式組，即可求m的取值范圍；
（2）利用分離參數法，再求出對應函數在x∈[1，3]上的最大值，即可求m的取值范圍．

解答：解：（1）由題意，mx²-mx-1＜0對任意實數x恒成立，
若m=0，顯然-1＜0成立；
若m≠0，則

m＜0 △=m2+4m＜0

，解得-4＜m＜0．
所以-4＜m≤0．
（2）由題意，f（x）＞-m+x-1，即m（x²-x+1）＞x
因為x²-x+1＞0對一切實數恒成立，所以m＞

x

x2-x+1

在x∈[1，3]上恒成立．
因為函數y=

x

x2-x+1

=

1

x+ 1 x -1

在x∈[1，3]上的最大值為1，所以只需m＞1即可．
所以m的取值范圍是{m|m＞1}．

點評：本題考查恒成立問題，考查分離參數法的運用，解題的關鍵是分離參數，正確求最值，屬于中檔題．