Question

已知中心為坐標原點O，焦點在x軸上的橢圓的兩個短軸端點和左右焦點所組成的四邊形是面積為2的正方形，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點P（0，2）的直線l與橢圓交于點A，B，當△OAB面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）設橢圓方程為，由已知得出關于a，b的方程組，解之即得a，b的值，從而寫出所求橢圓的標準方程即可；
（2）根據題意可知直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．
解答：解：設橢圓方程為，
（1）由已知得
∴所求橢圓的標準方程為
（2）根據題意可知直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由方程組消去y得關于x得：方程（1+2k²）x²+8kx+6=0，
由直線l與橢圓相交于A，B兩點，
則有△＞0⇒64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，解得或
由韋達定理得：
故
=
又因為原點O到直線l的距離，
故
令（m＞0），則2k²=m²+3，所以S=
當且僅當m=2時，，此時，滿足題意，
∴直線l的方程為，或．
點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，當直線與圓錐曲線相交時   涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化   同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．