Question

已知中心為坐標原點O，焦點在x軸上的橢圓的兩個短軸端點和左右焦點所組成的四邊形是面積為2的正方形，
（1）求橢圓的標準方程；
（2）過點P（0，2）的直線l與橢圓交于點A，B，當△OAB面積最大時，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，由已知得出關于a，b的方程組，解之即得a，b的值，從而寫出所求橢圓的標準方程即可；
（2）根據題意可知直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線的方程代入橢圓的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系利用弦長公式即可求得k值，從而解決問題．

解答：解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，
（1）由已知得

b=c 1 2 ×2b×2c=2 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b2=1 c2=1

∴所求橢圓的標準方程為

x2

2

+y2=1
（2）根據題意可知直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=kx+2，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由方程組

y=kx+2 x2 2 +y2=1

消去y得關于x得：方程（1+2k²）x²+8kx+6=0，
由直線l與橢圓相交于A，B兩點，
則有△＞0?64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，解得k＞

6

2

或k＜

- 6

2

由韋達定理得：

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1x2= 6 1+2k2

故|AB|=

(x2-x1)2+(y2-y1)2

=

(1+k2)[(x2+x1)2-4x1x2]

=

16k2-24

2k2+1

•

1+k2

又因為原點O到直線l的距離，d=

k×0-0+2

1+k2

=

2

1+k2

故S△AOB=

1

2

|AB|•d=

16k2-24

1+2k2

=

2 2 2k2-3

1+2k2

令m=

2k2-3

（m＞0），則2k²=m²+3，所以S=

2 2 m

m2+4

≤

2 2 m

2 4m2

=

2

2

當且僅當m=2時，Smax=

2

2

，此時k=±

14

2

，滿足題意，
∴直線l的方程為

14

x-2y+4=0，或

14

x+2y-4=0．

點評：本題考查用待定系數法求橢圓的標準方程，當直線與圓錐曲線相交時   涉及弦長問題，常用“韋達定理法”設而不求計算弦長（即應用弦長公式）；涉及弦長的中點問題，常用“點差法”設而不求，將弦所在直線的斜率、弦的中點坐標聯系起來，相互轉化   同時還應充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關系靈活轉化，往往就能事半功倍．