Question

已知中心在坐標原點O，焦點在x軸上，長軸長是短軸長的2倍的橢圓經過點M=（2，1）．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）直線l平行于OM，且與橢圓交于A、B兩個不同點．
（ⅰ）若∠AOB為鈍角，求直線l在y軸上的截距m的取值范圍；
（ⅱ）求證直線MA、MB與x軸圍成的三角形總是等腰三角形．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，利用長軸長是短軸長的2倍的橢圓經過點M（2，1），可建立幾何量之間的關系，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）（ⅰ）先假設l的方程為y=

1

2

x+m，再與橢圓方程聯立，將∠AOB為鈍角，轉化為

OA

•

OB

＜0且m≠0，利用韋達定理，即可求出直線l在y軸上的截距m的取值范圍；
（ⅱ）依題意可知，直線MA、MB的斜率存在，分別記為k₁，k₂，證明k₁+k₂=0，即可得到直線MA、MB的傾斜角互補，從而可知直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．

解答：（Ⅰ）解：設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，則
∵長軸長是短軸長的2倍的橢圓經過點M（2，1）．
∴

a=2b 4 a2 + 1 b2 =1

   （2分）
解得

a2=8 b2=2.

，故橢圓的方程為

x2

8

+

y2

2

=1．（2分）
（Ⅱ）解：（ⅰ）由直線l平行于OM，得直線l的斜率k=kOM=

1

2

，
又l在y軸上的截距為m，所以l的方程為y=

1

2

x+m．
由

y= 1 2 x+m x2 8 + y2 2 =1

得x²+2mx+2m²-4=0．
又直線l與橢圓交于A、B兩個不同點，△=（2m）²-4（2m²-4）＞0，于是-2＜m＜2．（3分）
∠AOB為鈍角等價于

OA

•

OB

＜0且m≠0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=x1x2+(

1

2

x1+m)(

1

2

x2+m)=

5

4

x1x2+

m

2

(x1+x2)+m2＜0，
由韋達定理x₁+x₂=-2m，x1x2=2m2-4代入上式，
化簡整理得m²＜2，即-

2

＜m＜

2

，故所求范圍是(-

2

，0)∪(0，

2

)．（2分）
（ⅱ）證明：依題意可知，直線MA、MB的斜率存在，分別記為k₁，k₂．
由k1=

y1-1

x1-2

，k2=

y2-1

x2-2

．（2分）
而k1+k2=

y1-1

x1-2

+

y2-1

x2-2

=

(y1-1)(x2-2)+(y2-1)(x1-2)

(x1-2)(x2-2)

= ( 1 2 x1+m-1)(x2-2)+( 1 2 x2+m-1)(x1-2) (x1-2)(x2-2) = x1x2+(m-2)(x1+x2)-4(m-1) (x1-2)(x2-2)

=

2m2-4+(m-2)(-2m)-4(m-1)

(x1-2)(x2-2)

=

2m2-4-2m2+4m-4m+4

(x1-2)(x2-2)

=0．
所以k₁+k₂=0，故直線MA、MB的傾斜角互補，
故直線MA、MB與x軸始終圍成一個等腰三角形．                   （3分）

點評：本題考查橢圓的幾何性質，考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，解題的關鍵是聯立方程組，利用韋達定理解決直線與橢圓的位置關系問題．