Question

已知中心在坐標原點O的橢圓C經過點A（2，3），且點F（2，0）為其右焦點．
（1）求橢圓C的方程；
（2）是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設出橢圓C的標準方程，進而根據焦點和橢圓的定義求得c和a，進而求得b，則橢圓的方程可得．
（2）先假設直線存在，設出直線方程與橢圓方程聯立消去y，進而根據判別式大于0求得t的范圍，進而根據直線OA與l的距離求得t，最后驗證t不符合題意，則結論可得．

解答：解：（1）依題意，可設橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），且可知左焦點為
F（-2，0），從而有

c=2 2a=|AF|+|AF′|=8

，解得c=2，a=4，
又a²=b²+c²，所以b²=12，故橢圓C的方程為

x2

16

+

y2

12

=1．
（2）假設存在符合題意的直線l，其方程為y=

3

2

x+t，
由

y= 3 2 x+t x2 16 + y2 12 =1

得3x²+3tx+t²-12=0，
因為直線l與橢圓有公共點，所以有△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，解得-4

3

≤t≤4

3

，
另一方面，由直線OA與l的距離4=

|t|

9 4 +1

，從而t=±2

13

，
由于±2

13

∉[-4

3

，4

3

]，所以符合題意的直線l不存在．

點評：本小題主要考查直線、橢圓等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想．