Question

已知點M（-5，0）、C（1，0），B分

MC

所成的比為2．P是平面上一動點，且滿足|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

．
（1）求點P的軌跡C對應的方程；
（2）已知點A（m，2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD、AE，且AD、AE的斜率k₁、k₂滿足k₁k₂=2．試推斷：動直線DE有何變化規律，證明你的結論．

Answer 1

（1）因為點M（-5，0）、C（1，0），B分

MC

所成的比為2，
所以xB=

xM+2xC

1+2

=

-5+2

1+2

=-1，yB=0．
設P（x，y）代入|

PC

|•|

BC

|=

PB

•

CB

，得

(x-1)2+y2

=1+x．
化簡得y²=4x．
（2）將A（m，2）代入y²=4x，得m=1，即A（1，2）．
∵k₁k₂=2，∴D、E兩點不可能關于x軸對稱，∴DE的斜率必存在．
設直線DE的方程為y=kx+b，D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）
由

y=kx+b y2=4x

得k²x²+2（kb-2）x+b²=0．
∵k₁•k₂=2，∴

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2  (x1、x2≠1)．
且y₁=kx₁+b、y₂=kx₂+b．
∴（k²-2）x₁x₂+（kb-2k+2）（x₁+x₂）+（b-2）²-2=0．
將x1+x2=

-2(kb-2)

k2

，x1x2=

b2

k2

代入化簡得b²=（k-2）²，∴b=±（k-2）．
（i）將b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，過定點（-1，-2）．
（ii）將b=2-k入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．
過定點（1，2）．即為A點，不合題意，舍去．
∴直線DE恒過定點（-1，-2）．