Question

（2011•洛陽二模）已知點(diǎn)M（-5，0），F(xiàn)（1，0），點(diǎn)K滿足

MK

=2

KF

，P是平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

．
（1）求P點(diǎn)的軌跡C的方程；
（2）過點(diǎn)F作兩條斜率存在且互相垂直的直線l₁，l₂，設(shè)l₁與曲線C相交于點(diǎn)A，B，l₂與曲線C相交于點(diǎn)D，E，求四邊形ADBE的面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）先確定K的坐標(biāo)，再利用

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，即可求P點(diǎn)的軌跡C的方程；
（2）設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，求得|AB|，|DE|，表示出面積，利用基本不等式，即可求得最值．

解答：解：（1）設(shè)K（x₀，y₀），P（x，y）
∵M(jìn)（-5，0），F(xiàn)（1，0），

MK

=2

KF

，
∴（x₀+5，y₀）=2（1-x₀，-y₀）
∴x₀=-1，y₀=0，∴K（-1，0）
∵|

PF

|•|

KF

|=

PK

•

FK

，
∴2

(x-1)2+y2

=（-1-x₀，-y₀）•（-2，0）
∴

(x-1)2+y2

=1+x，即y²=4x；
（2）設(shè)l₁的方程為x=ny+1（n≠0），與y²=4x聯(lián)立，消去x可得y²-4ny-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則y₁+y₂=4n，y₁y₂=-4
∴|AB|=

1+n2

|y1-y2|=4（n²+1）
∵l₁⊥l₂，∴l(xiāng)₂的方程為x=-

1

n

y+1，與y²=4x聯(lián)立，
同理可得|DE|=4（

1

n2

+1）
∴四邊形ADBE的面積為

1

2

|AB||DE|=8（n²+1）（

1

n2

+1）=8（n²+

1

n2

+2）≥32
當(dāng)且僅當(dāng)n²=

1

n2

，即n=±1時(shí)，四邊形ADBE的面積的最小值為32．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查四邊形面積的計(jì)算，考查基本不等式，屬于中檔題．