Question

已知點M（-5，0）、C（1，0），B分所成的比為2．P是平面上一動點，且滿足．
（1）求點P的軌跡C對應的方程；
（2）已知點A（m，2）在曲線C上，過點A作曲線C的兩條弦AD、AE，且AD、AE的斜率k₁、k₂滿足k₁k₂=2．試推斷：動直線DE有何變化規律，證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求點P的軌跡C對應的方程，設P（x，y），只須求出其坐標x，y的關系式即可，利用向量條件，將點的坐標代入，即得；
（2）設直線DE的方程為y=kx+b，D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂），將直線的方程代入拋物線的方程，消去y得到關于x的一元二次方程，再結合根系數的關系結合題中條件：“k₁•k₂=2”即可求得結果，從而解決問題．
解答：解：（1）因為點M（-5，0）、C（1，0），B分所成的比為2，
所以．
設P（x，y）代入，得．
化簡得y²=4x．
（2）將A（m，2）代入y²=4x，得m=1，即A（1，2）．
∵k₁k₂=2，∴D、E兩點不可能關于x軸對稱，∴DE的斜率必存在．
設直線DE的方程為y=kx+b，D（x₁，y₁）、E（x₂，y₂）
由得k²x²+2（kb-2）x+b²=0．
∵k₁•k₂=2，∴．
且y₁=kx₁+b、y₂=kx₂+b．
∴（k²-2）x₁x₂+（kb-2k+2）（x₁+x₂）+（b-2）²-2=0．
將代入化簡得b²=（k-2）²，∴b=±（k-2）．
（i）將b=k-2代入y=kx+b得y=kx+k-2=k（x+1）-2，過定點（-1，-2）．
（ii）將b=2-k入y=kx+b得y=kx+2-k=k（x-1）+2．
過定點（1，2）．即為A點，不合題意，舍去．
∴直線DE恒過定點（-1，-2）．
點評：本題主要考查拋物線的標準方程的問題、直線與圓錐曲線的綜合問題．要能較好的解決拋物線問題，必須熟練把握好直線與拋物線的位置關系篩處理方法．