Question

 

已知函數（其中為常數，為自然對數的底數）．

（Ⅰ）當＝時，判斷函數的單調性并寫出其單調區間；；

（Ⅱ）當時，求證：沒有實數解．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 已知函數（其中為常數，為自然對數的底數）．

（Ⅰ）當＝時，判斷函數的單調性并寫出其單調區間；；

（Ⅱ）當時，求證：沒有實數解．

解：（Ⅰ）因為x >0，

當＝時，==，

令，所以，

令，所以；                                     

所以函數的單調增區間為；

單調減區間為-------------------------------------7分

                      

（Ⅱ）解一: 令

     當時，----------------------------------------------------------10分

令則

所以h(x)在(0,e)上為增函數，在(e,+上為減函數，

所以h(x)_max=h(e)=---------------------------------------------------------------13分

    所以x >0時,g(x)>h(x)恒成立，即

    即

   > 0恒成立，

所以f (x)=0無解.----------------------------------------------------------------------15分

解二: 設f (x)的極小值點為x₀，則，

令g(x₀)= ,則= ，---------------------------------10分

當x₀ > e 時，> 0,

當x₀ < e 時，< 0,

所以g(x₀)_min= g(e)=0, 即>0,------------------------------------------13分

故>0恒成立.

所以f (x)=0無解.----------------------------------------------------------------------15分