Question

已知函數（其中為常數）.

(Ⅰ)當時，求函數的單調區間；

(Ⅱ)當時，設函數的3個極值點為，且.證明：.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)單調減區間為,；增區間為.(Ⅱ)詳見解析.

【解析】

試題分析：(Ⅰ)將代入，然后求導便可得其單調區間.

(Ⅱ)我們分以下幾步來分析.

第一步、對求導得：.顯然是它的一個極值點，下面我們要弄清楚應該是還是.另兩個極值點便是方程的根.對這個方程，我們不可能直接解，所以接下來就利用導數研究函數.

第二步、對求導得：

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增

當時，，.又，

所以在上必有一個極值點.

因為，所以，，

∴的兩個零點必有一個小于（實際上比還小），而另一個大于1，

∴.

∴當時，是函數的兩個零點，且.

即有.這樣問題轉化為在該條件下證明.那么這個不等式如何證呢？

第三步、注意到待證不等式中不含，故考慮消去，找到之間的關系式.

消去有.

令，有零點.

∴函數在上遞減，在上遞增，在處取得極小值.由于，所以.

因為.

所以要證明，只需證.那么這個不等式又如何證明呢？

因為函數在上遞增，所以轉化為證.

 即證.

這個不等式，通過構造函數，再利用導數就很容易證明了.

試題解析：(Ⅰ)求導得：.

令可得.列表如下:

	-	-	0	+
	減	減	極小值	增

單調減區間為,;增區間為.         5分

(Ⅱ)由題，

對于函數，有

∴函數在上單調遞減，在上單調遞增

∵函數有3個極值點，

從而，所以，

當時，，，

∴ 函數的遞增區間有和，遞減區間有，，，

此時，函數有3個極值點，且；

∴當時，是函數的兩個零點，      9分

即有，消去有

令，有零點，且

∴函數在上遞減，在上遞增

要證明   

 即證

構造函數，，所以

只需要證明單調遞減即可.而， 在上單調遞增,

∴當時，.             14分

考點：1、導數的應用；2、不等式的證明.