Question

已知平面內一動點到點的距離與點到軸的距離的差等于1．（I）求動點的軌跡的方程；（II）過點作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與軌跡相交于點，與軌跡相交于點，求的最小值．

 

Answer 1

【答案】

（1）和（）；（2）16

【解析】

試題分析：（1）設動點的坐標為，由題意得  …2分

化簡得 當時；當時

所以動點的軌跡的方程為和（）  ………………………5分

（2）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設為，則的方程為．

由設則

， …6分

因為，所以的斜率為．設，則同理可得    ， ……7分

 ………10分

 …12分

當且僅當即時，取最小值16．…13分

考點：本題考查了軌跡方程的求法及直線與拋物線的位置關系

點評：從近幾年課標地區的高考命題來看，解析幾何綜合題主要考查直線和圓錐曲線的位置關系以及范圍、最值、定點、定值、存在性等問題，直線與多種曲線的位置關系的綜合問題將會逐步成為今后命題的熱點，尤其是把直線和圓的位置關系同本部分知識的結合，將逐步成為今后命題的一種趨勢.近幾年高考題中經常出現了以函數、平面向量、導數、數列、不等式、平面幾何、數學思想方法等知識為背景，綜合考查運用圓錐曲線的有關知識分析問題、解決問題的能力