Question

已知A、B是曲線x2-a

x

+y=0（1≤x≤4）上不同的兩點．若直線AB的斜率k總滿足1≤k≤16，則實數a的值是

 

．

Answer 1

分析：把曲線方程變形，求出曲線方程的導函數，由斜率k的范圍得到導函數的值范圍，進而表示出a的范圍，得到a的范圍在1≤x≤4上恒成立，把x=1和x=4分別代入不等式，即可求出實數a的值．

解答：解：曲線x2-a

x

+y=0變形得：y=-x²+a

x

，
∴y′=-2x+

a

2 x

，又1≤k≤16
∴1≤y′≤16，即1≤-2x+

a

2 x

≤16，
∴2

x

（2x+1）≤a≤2

x

（2x+16）在1≤x≤4恒成立，
∴把x=1代入不等式得：6≤a≤36；
把x=4代入不等式得：36≤x≤40，
∴a=36，
則實數a的值是36．
故答案為：36．

點評：本題主要考查導數的運算和導數的幾何意義，以及函數恒成立時滿足的條件，考查了轉化的思想，屬中檔題．