Question

直線y=kx+1，當(dāng)k變化時(shí)，直線被橢圓

x2

4

+y2=1截得的最大弦長(zhǎng)是（　�。�

• A．4
• B．2
• C．

  4 3

  3

• D．不能確定

Answer 1

分析：直線y=kx+1恒過(guò)定點(diǎn)P（0，1），且是橢圓的短軸上頂點(diǎn)，因而此直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)，即為點(diǎn)P與橢圓上任意一點(diǎn)Q的距離，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)Q（2cosθ，sinθ），利用三角函數(shù)即可得到結(jié)論．

解答：解：直線y=kx+1恒過(guò)定點(diǎn)P（0，1），且是橢圓的短軸上頂點(diǎn)，因而此直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)，即為點(diǎn)P與橢圓上任意一點(diǎn)Q的距離，設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)Q（2cosθ，sinθ）
∴|PQ|²=（2cosθ）²+（sinθ-1）²=-3sin²θ-2sinθ+5
∴當(dāng)sinθ=-

1

3

時(shí)，|PQ

|

2 max

=

16

3

∴|PQ|max=

4

3

3

，
故選C

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角函數(shù)知識(shí)，解題的關(guān)鍵是將問題轉(zhuǎn)化為點(diǎn)P與橢圓上任意一點(diǎn)Q的距離的最大值．