Question

定義在（1，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足下列兩個(gè)條件：
①對任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）=2f（x）成立；
②當(dāng)x∈（1，2]時(shí)，f（x）=2-x；
如果關(guān)于x的方程f（x）=k（x-1）恰有兩個(gè)不同的解，那么實(shí)數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A．

  4

  3

  ＜k≤2
• B．

  4

  3

  ≤k＜2
• C．1≤k≤

  4

  3

• D．

  3

  4

  ＜k＜2

Answer 1

分析：根據(jù)題中的條件得到函數(shù)的解析式為：f（x）=-x+2b，x∈（b，2b]，又因?yàn)閒（x）=k（x-1）的函數(shù)圖象是過定點(diǎn)（1，0）的直線，再結(jié)合函數(shù)的圖象根據(jù)題意求出參數(shù)k的范圍即可．

解答：解：直線y=k（x-1）過定點(diǎn)M（1，0），畫出f（x）在（1，+∞）上的部分圖象如圖，得A（2，2）、B（4，4）．
又kMA=

4

3

，k_MB=2．
由題意得f（x）=k（x-1）的函數(shù)圖象是過定點(diǎn)（1，0）的直線，
如圖所示紅色的直線與線段AB相交即可（可以與B點(diǎn)重合但不能與A點(diǎn)重合）
分析圖象知，當(dāng)

4

3

≤k＜2時(shí)f（x）=k（x-1）有兩個(gè)不同的解．
故選B．

點(diǎn)評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟悉求函數(shù)解析式的方法以及函數(shù)的圖象與函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)，是解決數(shù)學(xué)問題的必備的解題工具．