Question

已知集合M是滿足下面性質的函數f（x）的全體：在定義域內，方程f（x+1）=f（x）+f（1）有實數解．
（1）函數f(x)=

1

x

是否屬于集合M？說明理由；
（2）設函數f(x)=lg

t

x2+1

∈M，求t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在定義域內，由f(x)=

1

x

，f（x+1）=f（x）+f（1），知

1

x+1

=

1

x

+1⇒x2+x+1=0，由此能推導出f(x)=

1

x

∉M．
（2）由函數f(x)=lg

t

x2+1

∈M，知lg

t

(x+1)2+1

=lg

t

x2+1

+lg

t

2

，所以（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有實數解，由此能求出t的范圍．

解答：解：（1）在定義域內，
∵f(x)=

1

x

，f（x+1）=f（x）+f（1）
∴

1

x+1

=

1

x

+1⇒x2+x+1=0，
∵方程x²+x+1=0無實數解，
∴f(x)=

1

x

∉M．（6分）
（2）∵函數f(x)=lg

t

x2+1

∈M，
∴lg

t

(x+1)2+1

=lg

t

x2+1

+lg

t

2

，
∴（t-2）x²+2tx+2（t-1）=0有實數解，
t=2時，x=-

1

2

；
t≠2時，由△=4t²-4（t-2）×2（t-1）≥0，
得t2-6t+4≤0⇒t∈[3-

5

，2)∪(2，3+

5

]．
∴t∈[3-

5

，3+

5

]．（12分）

點評：本題考查函數的性質和應用，是中檔題．解題時要認真審題，仔細解答，注意對數的性質的靈活運用．