Question

設函數f（x）=mx²-mx-1
（1）若對一切實數x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范圍．
（2）若對一切實數m∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）當m=0時，f（x）=mx²-mx-1=-1，對一切實數x，f（x）＜0恒成立；當m≠0時，若對一切實數x，f（x）＜0恒成立，則有

m＜0 m2+4m＜0

，由此能求出m的取值范圍．
（2）由f（x）＜-m+5，知（x²-x+1）m-6＜0，由對一切實數m∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，知只需2（x²-x+1）-6＜0，解得-1＜x＜2．由此能求出x的取值范圍．

解答：解：（1）當m=0時，f（x）=mx²-mx-1=-1，對一切實數x，f（x）＜0恒成立；
當m≠0時，若對一切實數x，f（x）＜0恒成立，
則有

m＜0 m2+4m＜0

，
∴-4＜m＜0，
綜上，m的取值范圍是（-4，0]．
（2）∵f（x）＜-m+5，
∴mx²-mx-1＜-m+5，
∴（x²-x+1）m-6＜0，
∵對一切實數m∈[-2，2]，f（x）＜-m+5恒成立，
且x²-x+1＞0，
∴只需2（x²-x+1）-6＜0，
解得-1＜x＜2．
∴x的取值范圍是（-1，2）．

點評：本題考查函數的恒成立問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．