Question

（本小題16分）函數(shù)的定義域?yàn)閧x| x ≠1}，圖象過(guò)原點(diǎn)，且．

（1）試求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；

（2）已知各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)的數(shù)列前n項(xiàng)和為，滿足，求證：

；

（3）設(shè)，是否存在，使得

？若存在，求出，證明結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）由己知.

且

               

∴     

           于是

           由得或

           故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為和  

（2）由已知可得，    

當(dāng)時(shí)，

     兩式相減得

∴（各項(xiàng)均為負(fù)數(shù)）

當(dāng)時(shí)，， ∴      

于是，待證不等式即為．

為此，我們考慮證明不等式

令則，

再令，     由知

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增    ∴   于是

即    　　　 ①

令，    由知

∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增    ∴   于是

即　　　　 ②

由①、②可知  

所以，，即 

（3）.

     在中令2010，并將各式相加得

     

        即.