Question

11．設O是△ABC的內心，AB=c，AC=b，若$\overrightarrow{AO}={λ_1}\overrightarrow{AB}+{λ_2}\overrightarrow{AC}$，則（　　）

• A． $\frac{λ_1}{λ_2}=\frac{b}{c}$
• B． $\frac{λ_1^2}{λ_2^2}=\frac{b}{c}$
• C． $\frac{λ_1}{λ_2}=\frac{c^2}{b^2}$
• D． $\frac{λ_1^2}{λ_2^2}=\frac{c}{b}$

Answer 1

分析 利用O為△ABC內角平分線的交點，則有a×$\overrightarrow{OA}$+b×$\overrightarrow{OB}$+c×$\overrightarrow{OC}$=0，再利再利用三角形中向量之間的關系，將等式變形為$\overrightarrow{AO}$=$\frac{b}{a+b+c}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{c}{a+b+c}$$\overrightarrow{AC}$，利用平面向量基本定理即可解．

解答 解：設O是△ABC的內心，AB=c，AC=b，
則a×$\overrightarrow{OA}$+b×$\overrightarrow{OB}$+c×$\overrightarrow{OC}$=0，
∴a×$\overrightarrow{OA}$+b×（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AB}$）+c×（$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AC}$）=0，
∴（a+b+c）$\overrightarrow{AO}$=b$\overrightarrow{AB}$+c$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}$=$\frac{b}{a+b+c}$$\overrightarrow{AB}$+$\frac{c}{a+b+c}$$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AO}={λ_1}\overrightarrow{AB}+{λ_2}\overrightarrow{AC}$，
∴λ₁=$\frac{b}{a+b+c}$，λ₂=$\frac{c}{a+b+c}$，
∴$\frac{{λ}_{1}}{{λ}_{2}}$=$\frac{b}{c}$
故選：A

點評 本題考查向量知識，考查平面向量基本定理的運用，考查學生的計算能力，屬于基礎題．