Question

已知x＝3是函數f(x)＝aln(1＋x)＋x²－10x的一個極值點．

(Ⅰ)求a；

(Ⅱ)求函數f(x)的單調區間；

(Ⅲ)若直線y＝b與函數y＝f(x)的圖象有3個交點，求b的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

(Ⅲ)由(Ⅱ)知，f(x)在(－1，1)內單調增加，在(1，3)內單調減少，在(3，＋∞)上單調增加，且當x＝1或x＝3時， 　　所以f(x)的極大值為f(1)＝16ln2－9，極小值為f(3)＝32ln2－21 　　因為f(16)＝162－10×16＞16ln2－9＝f(1)f(e－2－1)＜－32＋11＝－21＜f(3) 　　所以在f(x)的三個單調區間(－1，1)，(1，3)，(3，＋∞)直線y＝b有y＝f(x)的圖象各有一個交點，當且僅當f(3)＜b＜f(1) 　　因此，b的取值范圍為(32ln2－21，16ln2－9)．