Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1 (a＞b＞0)，其左、右兩焦點(diǎn)分別為F₁、F₂．直線L經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F₂，且與橢圓交于A、B兩點(diǎn)．若A、B、F₁構(gòu)成周長(zhǎng)為4

2

的△ABF₁，橢圓上的點(diǎn)離焦點(diǎn)F₂最遠(yuǎn)距離為

2

+1，且弦AB的長(zhǎng)為

4 2

3

，求橢圓和直線L的方程．

Answer 1

分析：由題意知，a，b，c滿足

4a=4 2   a+c= 2 +1   a2=b2+c2

，解方程即可得到橢圓的方程，再由弦AB的長(zhǎng)為

4 2

3

，得到

[(x1+x2)2-4x1x2](1+k2)

=

4 2

3

，聯(lián)立直線與橢圓方程得到

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

  代入上式，即可得到k，繼而求出直線L的方程．

解答：解：依題意，設(shè)該橢圓的焦距為2c，
則

4a=4 2   a+c= 2 +1   a2=b2+c2

，
解得a=

2

，b=c=1，
所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1，
由題意可設(shè)直線L的方程為y=k（x-1），
聯(lián)立直線與橢圓方程得到

y=k(x-1) x2 2 +y2=1

，
整理得（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0，
若A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x₁，x₂，
則

x1+x2= 4k2 1+2k2 x1x2= 2k2-2 1+2k2

   （*），
△=16k⁴-8（k²-1）（1+2k²）＞0，
又由弦AB的長(zhǎng)為

4 2

3

，
則

[(x1+x2)2-4x1x2](1+k2)

=

4 2

3

將（*）式代入得k²=1，即k=±1
所以所求橢圓方程為

x2

2

+y2=1，直線方程為y=x-1或y=-x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，著重考查橢圓定義的應(yīng)用，屬于中檔題．