Question

已知函數f(x)=

1

3

x3-x2-3x在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂））．
（1）求x₁，x₂的值；
（2）證明：線段MN與曲線f（x）存在異于M、N的公共點．

Answer 1

分析：（1）根據函數f(x)=

1

3

x3-x2-3x在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，說明f′（x）=0的兩個根為x₁，x₂，解方程求出x₁，x₂的值；
（2）根據兩點公式，求出直線MN的方程，與曲線f（x）進行聯立方程，根據零點定理進行證明，也可以解出交點；

解答：解：解法一：∵函數f(x)=

1

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x3-x2-3x在x₁，x₂（x₁＜x₂）處取得極值，記點M（x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），
f'（x）=x²-2x-3，
的兩個根為x₁，x₂，
由f'（x）=x²-2x-3=0，得x₁=-1，x₂=3（3分）
令f'（x）＞0，x＞3或x＜-1，f（x）的單調增區間為（-∞，-1）和（3，+∞），f'（x）＜0，-1＜x＜3，單調減區間為（-1，3）（5分）
所以函數f（x）在x₁=-1．x₂=3處取得極值．
（2）由（1）可知，M(-1，

5

3

)．N(3，-9)（7分）
所以直線MN的方程為y=-

8

3

x-1（8分）
由

y= 1 3 x3-x2-3x y=- 8 3 x-1

得x³-3x²-x+3=0，（9分）
令F（x）=x³-3x²-x+3，易得F（0）=3＞0，F（2）=-3＜0，（11分）
而F（x）的圖象在（0，2）內是一條連續不斷的曲線，故F（x）在（0，2）內存在零點x₀，這表明線段MN與曲線f（x）有異于M，N的公共點．（12分）
解法二：同解法一，可得直線MN的方程為y=-

8

3

x-1 （8分）
由

y= 1 3 x3-x2-3x y=- 8 3 x-1

得x³-3x²-x+3=0（9分）
解得x₁=-1，x₂=1．x₃=3，
∴

x1=-1 y1= 5 3

x2=1 y2=- 11 3

x3=3 y3=-9

（11分）
所以線段MN與曲線f（x）有異于M，N的公共點(1，-

11

3

)．  （12分）

點評：此題主要考查利用導數研究函數的單調性，第二問有兩種方法，顯然第一種比較實用，高次方程必須經過變形才能進行求解，一般的話3次方程學生不會求解，還是用導數研究函數的圖象判斷與x軸的交點問題，會比較簡單；