Question

設數列{a_n}中，a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹（n∈N^*）．
（Ⅰ）若a₁，a₂，a₃成等差數列，求實數a的值；
（Ⅱ）試問數列{

an

2n

-

1

2

}能否為等比數列．若是等比數列，請寫出相應數列{a_n}的通項公式；若不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹，對n取值，再利用a₁，a₂，a₃成等差數列，即可求實數a的值；
（Ⅱ）條件等價于

an+1

2n+1

-

1

2

=-(

an

2n

-

1

2

)，故若{

an

2n

-

1

2

}是以

a1

2

-

1

2

=

a

2

-

1

2

為首項，-1為公比的等比數列，則必須首項不為0，從而可得結論．

解答：解：（Ⅰ）∵a₁=a，a_n+1+2a_n=2ⁿ⁺¹，
∴a₂+2a₁=2²，a₃+2a₂=2³，
∴a₂=-2a+4，a₃=4a，
∵2a₂=a₁+a₃，∴2（-2a+4）=a+4a，∴a=

8

9

（4分）
（Ⅱ）因為an+1+2an=2n+1(n∈N*)，所以

an+1

2n+1

+

an

2n

=1，（6分）
得：

an+1

2n+1

-

1

2

=-(

an

2n

-

1

2

)，故若{

an

2n

-

1

2

}是以

a1

2

-

1

2

=

a

2

-

1

2

為首項，-1為公比的等比數列，則必須a≠1．
故a≠1時，數列{

an

2n

-

1

2

}為等比數列，此時an=2n[

1

2

+(

a

2

-

1

2

)•(-1)n-1]，否則當a=1時，數列{

an

2n

-

1

2

}的首項為0，該數列不是等比數列．

點評：本題考查數列遞推式，考查等比數列的判斷，考查學生的計算能力，屬于中檔題．