Question

設數列{a_n}中，若a_n+1=a_n+a_n+2，（n∈N^*），則稱數列{a_n}為“凸數列”．
（1）設數列{a_n}為“凸數列”，若a₁=1，a₂=-2，試寫出該數列的前6項，并求出該6項之和；
（2）在“凸數列”{a_n}中，求證：a_n+3=-a_n，n∈N^*；
（3）設a₁=a，a₂=b，若數列{a_n}為“凸數列”，求數列前2010項和S₂₀₁₀．

Answer 1

分析：（1）依題意分別求得a₁=1，a₂=-2，a₃=-3，a₄=-1，a₅=2，a₆=3，則S₆可得．
（2）把a_n+1=a_n+a_n+2和a_n+2=a_n+1+a_n+3兩式相加求得a_n+3=-a_n．
（3）由（2）中的結論可得a_n+6=a_n．進而可知數列為以6為周期的數列，進而看2010是6的多少倍數，進而得到答案．

解答：解：（1）a₁=1，a₂=-2，a₃=-3，a₄=-1，a₅=2，a₆=3，
∴S₆=a₁+a₂+a₃+a₄+a₅+a₆=0，
（2）由條件得

an+1=an+an+2 an+2=an+1+an+3

，
∴a_n+3=-a_n．
（3）由（2）的結論，
∴a_n+6=-a_n+3=a_n，即a_n+6=a_n．
a₁=a，a₂=b，a₃=b-a，a₄=-a，a₅=-b，a₆=a-b．
∴S₆=0．
由（2）得S_6n+k=S_k，n∈N^*，k=1，，6．
∴S₂₀₁₀=S_335×6=0．

點評：本題主要考查了數列的求和．解題的關鍵是充分利用好題設中的遞推式或者變形來解決問題．