Question

平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,任何三條也不共點,求證:這n條直線把平面分割成 (n²+n+2)個區(qū)域.

      

Answer 1

證明:(1)當(dāng)n=1時,一條直線把平面分成兩個區(qū)域,?

       又 (1²+1+2)=2,?

       所以n=1時命題成立.?

       (2)假設(shè)n=k時,命題成立,?

       即k條滿足題意的直線把平面分割成了 (k²+k+2)個區(qū)域.?

       那么當(dāng)n=k+1時,k+1條直線中的k條直線把平面分成了 (k²+k+2)個區(qū)域,?

       第k+1條直線被這k條直線分成k+1條線段,每段把它們所在的區(qū)域分成了兩塊,?

       因此增加了k+1個區(qū)域.?

       所以k+1條直線把平面分成了 (k²+k+2)+k+1=［(k+1)²+(k+1)+2］個區(qū)域.?

       所以n=k+1時命題也成立.?

       根據(jù)(1)(2)知,對一切的n∈N^*,此命題均成立.