Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足asinB=bcosA，則

2

sinB-cosC的最大值是（　　）

• A、1
• B、

  3

• C、

  7

• D、2

  7

Answer 1

分析：已知等式利用正弦定理化簡得到tanA=1，求出A的度數，用B表示出C，代入所求式子利用兩角和與差的余弦函數公式化簡，整理后再利用兩角和與差的正弦函數公式化為一個角的正弦函數，根據正弦函數的值域即可確定出最大值．

解答：解：由asinB=bcosA以及正弦定理可知sinAsinB=sinBcosA，即sinA=cosA，
∴tanA=1，即A=

π

4

，
∴

2

sinB-cosC=

2

sinB-cos（

3π

4

-B）=

2

sinB-cos

3π

4

cosB-sin

3π

4

sinB=

2

2

sinB+

2

2

cosB=sin（B+

π

4

），
∵0＜B＜

3π

4

，即

π

4

＜B+

π

4

＜π，
∴0≤sin（B+

π

4

）≤1，
則

2

sinB-cosC的最大值為1．
故選A

點評：此題考查了正弦定理，兩角和與差的正弦、余弦函數公式，以及正弦函數的值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．