Question

線段AB的中點O也是線段AB的重心，O具有以下性質：①O平分線段AB的長度；②③O是直線AB上所有點中到線段AB兩個端點的距離的平方和最小的點．由此推廣到三角形，設△ABC的重心為G，我們得到如下猜想：
A．G平分△ABC的面積（即△GAB、△GBC、△GAC面積相等）；
B．
C．G是平面ABC內所有點中到△ABC三邊的距離的平方和最小的點；
D．G是平面ABC內所有點中到△ABC三個頂點的距離的平方和最小的點；
你認為正確的猜想有________（填上所有你認為正確的猜想的序號）．

Answer 1

ABCD
分析：對于A，根據三角形重心的定義，線段的端點到這條邊的中線的距離相等；對于B，根據三角形重心的性質，設AB的中點為D，則，根據，可得；對于C，根據三角形重心的性質，G是重心時，G到△ABC三邊的距離的平方和等于三條高的平方和的；對于D，設三角形三個頂點為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），平面上任意一點為（x，y），求出該點到三頂點距離平方和，利用配方法，故可得結論．
解答：對于A，根據三角形重心的定義，線段的端點到這條邊的中線的距離相等，即A，C到BG的距離相等，所以△GAB、△GBC同底等高，所以△GAB、△GBC面積相等，同理、△GBC、△GAC面積相等，故△GAB、△GBC、△GAC面積相等，即G平分△ABC的面積，所以A正確；
對于B，根據三角形重心的性質，設AB的中點為D，則，∵，∴，所以B正確；
對于C，根據三角形重心的性質，G是重心時，G到△ABC三邊的距離的平方和等于三條高的平方和的，所以正確；
對于D，設三角形三個頂點為（x₁，y₁），（x₂，y₂），（x₃，y₃），平面上任意一點為（x，y），則該點到三頂點距離平方和為：（x₁-x）²+（y₁-y）²+（x₂-x）²+（y₂-y）²+（x₃-x）²+（y₃-y）²=3x²-2x（x₁+x₂+x₃）+3y²-2y（y₁+y₂+y₃）+x₁²+x₂²+x₃²+y₁²+y₂²+y₃²=3[x-（x₁+x₂+x₃）]²+3[y-（y₁+y₂+y₃）]²+x₁²+x₂²+x₃²+y₁²+y₂²+y₃²-（x₁+x₂+x₃）²-（y₁+y₂+y₃）²
顯然當x=（x₁+x₂+x₃），y=（y₁+y₂+y₃）（重心坐標）時上式取得最小值為x₁²+x₂²+x₃²+y₁²+y₂²+y₃²-（x₁+x₂+x₃）²-（y₁+y₂+y₃）² ，所以D正確；
故答案為：ABCD
點評：本題考查類比思想，考查學生的探究能力，考查學生分析解決問題的能力，有一定的難度．