Question

如圖，在平面直角坐標系xoy中，設三角形ABC的頂點分別為A（0，a），B（b，0），C（c，0），點P（0，p）在線段AO上的一點（異于端點），這里a，b，c，p均為非零實數，設直線BP，CP分別與邊AC，AB交于點E，F．
（1）若BE⊥AC，求證CF⊥AB；
（2）若O、E分別是BC、AC的中點，求證F也是AB的中點．

Answer 1

分析：（1）根據B和P的坐標求出直線BP的斜率，同理根據A和C的坐標求出直線AC的斜率，因為兩直線垂直得到斜率乘積為-1，令兩斜率相乘等于-1得到一個關系式pa=-bc；然后根據P和C的坐標求出直線PC 的斜率，根據A和B的坐標求出直線AB的斜率，把兩斜率相乘后，把求得的關系式代入即可得到乘積為-1，得到CF垂直于AB，得證；
（2）由O是BC的中點且PO垂直于BC，得到直線PO為線段BC的垂直平分線，根據線段垂直平分線的性質可知：|PB|=|PC|，且|AB|=|AC|，根據等邊對等角得到角PBC等于角PCB，且角ABC等于角ACB，兩等式相減得到角ABP等于角ACF，又根據對頂角相等得到三角形PFB與三角形PEC全等，得到|FB|等于|EC|，所以得到|FB|等于|AB|的一半，得證．

解答：證明：（1）根據點B（b，0）和點P的坐標（0，p）寫出直線BP的斜率為-

p

b

，
由點A（0，a）和C（c，0）寫出直線AC的斜率為-

a

c

，
因為BE⊥AC，所以（-

p

b

）（-

a

c

）=-1，即pa=-bc；
而由C（c，0）和P（0，p）斜率為-

p

c

，由A（0，a）和B（b，0）斜率為-

a

b

，
則斜率之積為（-

p

c

）（-

a

b

）=

pa

bc

=

pa

-pa

=-1，所以CF⊥AB；
（2）因為O為線段BC的中點，且PO⊥BC，所以OP為線段BC的垂直平分線，
∴|BP|=|CP|，且|AB|=|AC|，
∴∠PBO=∠PCO，且∠ABC=∠ACB，
∴∠ABP=∠ACP，
又∠FPB=∠EPC，
∴△BPF≌△CPE，
∴|BF|=|CE|，
又E是線段AC的中點，所以|CE|=

1

2

|AC|，
則|BF|=

1

2

|AB|，所以F為線段AB的中點．

點評：此題考查學生掌握兩直線垂直時斜率所滿足的關系以及會根據斜率乘積為-1得到兩直線垂直，靈活運用線段垂直平分線的性質及三角形全等解決實際問題，是一道綜合題．