Question

已知函數為奇函數.

（1）若，求函數的解析式；

（2）當時，不等式在上恒成立，求實數的最小值；

（3）當時，求證：函數在上至多一個零點.

 

Answer 1

（1）；（2）；（3）證明略

【解析】

試題分析：（1）已知函數的奇偶性求參數的值一般思路：利用函數的奇偶性的定義轉化為，從而建立方程，使問題獲解，但是在解決選擇題，填空題時，利用定義去做相對麻煩，因此為使問題解決更快，可采用特值法；（2）對于恒成立的問題，常用到兩個結論：（1），（2）；（3）對于給出的具體函數的解析式的函數，證明或判斷在某區間上的單調性有兩種方法：一是利用函數單調性的定義：作差、變形，由的符號，在確定符號是變形是關鍵，掌握配方，提公因式的方法，確定結論；二是利用函數的導數求解；（4）單調函數最多只有一個零點.

試題解析：【解析】
函數為奇函數，

，即

又，

函數解析式

當時，

函數在都是單調遞增，

在單調遞增，

所以當時，

不等式在上恒成立，

實數的最小值為

證明：，設任取任意實數

，，即

，又，，即

在單調遞減

又，結合函數圖象知函數在上至多有一個零點

考點：1、利用函數的奇偶性求參數；2、恒成立的問題；3、利用定義證明函數的單調性