Question

【題目】如圖，在直三棱柱中， ， ， ， 分別是的中點(diǎn).

（1）求證： 平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】試題分析：本題考查空間中線面平行的判定方法和用空間向量求二面角。（1）作輔助線，在平面內(nèi)找到一條直線使得它與平行，然后用線面平行的判定定理證明。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，根據(jù)兩向量的夾角求出二面角的余弦值。

試題解析;

(1)證明：連,

由三棱柱是直三棱柱可得,

∴ 四邊形為矩形，

由矩形性質(zhì)得過的中點(diǎn)M,

又是的中點(diǎn)．

∴，

又，,

；

(2) 解：，

∴,

∴.

,

∴兩兩垂直。

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則,,

,

設(shè)平面的法向量為，

則，

令則，

，

又易知平面的一個法向量為，

，

∴平面與平面所成的銳二面角的余弦值為.