Question

18．在2016年高考結束后，針對高考成績是否達到了考生自己預期水平的情況，某校在高三部分畢業生內部進行了抽樣調查，現從高三年級A、B、C、D、E、F六個班隨機抽取了50人，將統計結果制成了如下的表格：

班級	A	B	C	D	E	F
抽取人數	6	10	12	12	6	4
其中達到預期水平的人數	3	6	6	6	4	3

（Ⅰ）根據上述的表格，估計該校高三學生2016年的高考成績達到自己的預期水平的概率；
（Ⅱ）若從E班、F班的抽取對象中，進一步各班隨機選取2名同學進行詳細調查，記選取的4人中，高考成績沒有達到預期水平的人數為ξ，求隨機變量ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據表格確定出50人達到自己實際的水平的人數，即可求出所求概率；
（Ⅱ）確定出調查的4人中高考成績沒有達到實際水平的人數為ξ，求出各自的概率，得到分布列，再求出數學期望值．

解答 解：（Ⅰ）根據題意，調查的50人中達到自己實際的水平有：
3+6+6+6+4+3=28（人），
故所求的概率為P=$\frac{28}{50}$=0.56；
（Ⅱ）調查的4人中高考成績沒有達到實際水平的人數為ξ，
則ξ=0，1，2，3；
當P（ξ=0）=$\frac{{C}_{4}^{2}{•C}_{3}^{2}}{{C}_{6}^{2}{•C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{5}$；
P（ξ=1）=$\frac{{C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}{•C}_{3}^{2}{+C}_{4}^{2}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}{•C}_{4}^{2}}$=$\frac{7}{15}$；
P（ξ=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{3}^{2}{+C}_{2}^{1}{•C}_{4}^{1}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}{•C}_{4}^{2}}$=$\frac{3}{10}$；
P（ξ=3）=$\frac{{C}_{2}^{2}{•C}_{3}^{1}}{{C}_{6}^{2}{•C}_{4}^{2}}$=$\frac{1}{30}$，
所求的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{5}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{30}$

則E（ξ）=0×$\frac{1}{5}$+1×$\frac{7}{15}$+2×$\frac{3}{10}$+3×$\frac{1}{30}$=$\frac{53}{30}$．

點評 本題考查了離散型隨機變量的分布列與數學期望，是中檔題．