Question

設(shè)a為大于0的常數(shù)，函數(shù)f（x）=

x

-ln（x+a）．
（1）當(dāng)a=

3

4

，求函數(shù)f（x）的極大值和極小值；
（2）若使函數(shù)f（x）為增函數(shù)，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）當(dāng)a=

3

4

時(shí)，f′（x）=

1

2 x

-

1

x+ 3 4

，
令f′（x）=0，則x-2

x

+

3

4

=0，∴x=

9

4

或

1

4

，
當(dāng)x∈[0，

1

4

]時(shí)，f′（x）＞0，當(dāng)x∈（

1

4

，

9

4

），f′（x）＜0，
當(dāng)x∈（

9

4

，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，
∴f（x）_極大值=f（

1

4

）=

1

2

，f（x）_極小值=f（

9

4

）=

3

2

-ln3．
（2）f′（x）=

1

2 x

-

1

x+a

，若f（x）為增函數(shù)，則當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f′（x）≥0恒成立，
∴

1

2 x

≥

1

x+a

，即x+a≥2

x

，
即a≥2

x

-x=-（

x

-1）²+1恒成立，
∴a≥1．