Question

設a為大于0的常數，函數f（x）=-ln（x+a）．
（1）當a=，求函數f（x）的極大值和極小值；
（2）若使函數f（x）為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）將a的值代入后對函數進行求導，令導函數等于0求出x的值，然后判斷函數的單調性進而可求極大值與極小值．
（2）將問題轉化為函數f（x）的導函數在∈[0，+∞）大于等于0恒成立的問題，從而得解．
解答：解：（1）當a=時，f′（x）=-，
令f′（x）=0，則x-2+=0，∴x=或，
當x∈[0，]時，f′（x）＞0，當x∈（，），f′（x）＜0，
當x∈（，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）_極大值=f（）=，f（x）_極小值=f（）=-ln3．
（2）f′（x）=-，若f（x）為增函數，則當x∈[0，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，
∴≥，即x+a≥2，
即a≥2-x=-（-1）²+1恒成立，
∴a≥1．
點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．導數問題時每年高考的熱點，要重視．