Question

設a為大于0的常數，函數f（x）=

x

-ln（x+a）．
（1）當a=

3

4

，求函數f（x）的極大值和極小值；
（2）若使函數f（x）為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）將a的值代入后對函數進行求導，令導函數等于0求出x的值，然后判斷函數的單調性進而可求極大值與極小值．
（2）將問題轉化為函數f（x）的導函數在∈[0，+∞）大于等于0恒成立的問題，從而得解．

解答：解：（1）當a=

3

4

時，f′（x）=

1

2 x

-

1

x+ 3 4

，
令f′（x）=0，則x-2

x

+

3

4

=0，∴x=

9

4

或

1

4

，
當x∈[0，

1

4

]時，f′（x）＞0，當x∈（

1

4

，

9

4

），f′（x）＜0，
當x∈（

9

4

，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）_極大值=f（

1

4

）=

1

2

，f（x）_極小值=f（

9

4

）=

3

2

-ln3．
（2）f′（x）=

1

2 x

-

1

x+a

，若f（x）為增函數，則當x∈[0，+∞）時，f′（x）≥0恒成立，
∴

1

2 x

≥

1

x+a

，即x+a≥2

x

，
即a≥2

x

-x=-（

x

-1）²+1恒成立，
∴a≥1．

點評：本題主要考查函數的單調性、極值點與其導函數之間的關系．導數問題時每年高考的熱點，要重視．