Question

設λ＞0，點A的坐標為（1，1），點B在拋物線y=x²上運動，點Q滿足，經過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足，求點P的軌跡方程．

Answer 1

【答案】分析：設出點的坐標，利用向量的坐標公式求出向量的坐標，代入已知條件中的向量關系得到各點的坐標關系；表示出B點的坐標；將B的坐標代入拋物線方程求出p的軌跡方程．
解答：解：由知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設P（x，y），Q（x，y），M（x，x²）則
x²-y=λ（y-x²）即y=（1+λ）x²-λy①
再設B（x₁，y₁）由得
將①代入②式得
又點B在拋物線y=x²
將③代入得（1+λ）²x²-λ（1+λ）y-λ=（（1+λ）x-λ）²
整理得2λ（1+λ）x-λ（1+λ）y-λ（1+λ）=0因為λ＞0所以2x-y-1=0
故所求的點P的軌跡方程：y=2x-1
點評：本題考查題中的向量關系提供點的坐標關系、求軌跡方程的重要方法：相關點法，即求出相關點的坐標，將相關點的坐標代入其滿足的方程，求出動點的軌跡方程．