Question

設(shè)λ＞0，點A的坐標(biāo)為（1，1），點B在拋物線y=x²上運動，點Q滿足

BQ

=λ

QA

，經(jīng)過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足

QM

=λ

MP

，求點P的軌跡方程．

Answer 1

分析：設(shè)出點的坐標(biāo)，利用向量的坐標(biāo)公式求出向量的坐標(biāo)，代入已知條件中的向量關(guān)系得到各點的坐標(biāo)關(guān)系；表示出B點的坐標(biāo)；將B的坐標(biāo)代入拋物線方程求出p的軌跡方程．

解答：解：由

QM

=λ

MP

知Q，M，P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設(shè)P（x，y），Q（x，y₀），M（x，x²）則
x²-y₀=λ（y-x²）即y₀=（1+λ）x²-λy①
再設(shè)B（x₁，y₁）由

BQ

=λ

QA

得

x1=(1+λ)x-λ y1=(1+λ)y0-λ

②
將①代入②式得

x1=(1+λ)x-λ y1=(1+λ)2x2

-λ(1+λ )y-λ③
又點B在拋物線y=x²
將③代入得（1+λ）²x²-λ（1+λ）y-λ=（（1+λ）x-λ）²
整理得2λ（1+λ）x-λ（1+λ）y-λ（1+λ）=0因為λ＞0所以2x-y-1=0
故所求的點P的軌跡方程：y=2x-1

點評：本題考查題中的向量關(guān)系提供點的坐標(biāo)關(guān)系、求軌跡方程的重要方法：相關(guān)點法，即求出相關(guān)點的坐標(biāo)，將相關(guān)點的坐標(biāo)代入其滿足的方程，求出動點的軌跡方程．