Question

已知函數f（x）=-

2x

x+1

．
（1）用定義證明函數f（x）在（-1，+∞）上為單調遞減函數；
（2）若g（x）=a-f（x），且當x∈[1，2]時g（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）在（-1，+∞）內任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，由f（x₁）-f（x₂）=（-

2x1

x1+1

）-（-

2x2

x2+1

）=

2(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

＞0，得到函數f（x）=-

2x

x+1

在（-1，+∞）上為單調遞減函數．
（2）由（1）知，g（x）=a-f（x）在x∈[1，2]上是增函數，故g（x）=a-f（x）在x∈[1，2]上的最小值g（x）_min=g（1）=a-f（1）=a+1．由當x∈[1，2]時g（x）≥0恒成立，知g（x）_min=a+1≥0，由此能求出實數a的取值范圍．

解答：解：（1）在（-1，+∞）內任取x₁，x₂，令x₁＜x₂，
∵f（x）=-

2x

x+1

，
∴f（x₁）-f（x₂）=（-

2x1

x1+1

）-（-

2x2

x2+1

）=

2(x2-x1)

(x2+1)(x1+1)

，
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），x₁＜x₂，
∴（x₂+1）（x₁+1）＞0，2（x₂-x₁）＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
∴函數f（x）=-

2x

x+1

在（-1，+∞）上為單調遞減函數．
（2）由（1）知，g（x）=a-f（x）在x∈[1，2]上是增函數，
∴g（x）=a-f（x）在x∈[1，2]上的最小值：
g（x）_min=g（1）=a-f（1）=a+

2

1+1

=a+1．
∵當x∈[1，2]時g（x）≥0恒成立，
∴g（x）_min=a+1≥0，
解得a≥-1，
∴實數a的取值范圍是[-1，+∞）．

點評：本題考查的是函數單調性的問題．在解答的過程當中充分體現了函數單調性的定義、作差法、函數的最值以及恒成立問題．值得同學們體會和反思．