Question

1．如圖，已知ABC-A₁B₁C₁是正三棱柱，它的底面邊長和側棱長都是2．
（Ⅰ）求異面直線A₁C與B₁C₁所成角的余弦值大��；
（Ⅱ）求三棱錐C-ABC₁的體積${V_{C-AB{C_1}}}$．

Answer 1

分析 （1）求異面直線所成角，常規思想：平行作角，構造三角形求角；
（2）三棱錐C-ABC₁的體積直接求解不太合適，則采用等體積法，可轉化為以C₁為頂點，以△ABC為底面，再計算體積．

解答 解：（Ⅰ）如圖，連接A₁B，∵正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，C₁B₁∥CB，
∴∠A₁CB（或其補角）是異面直線A₁C與B₁C₁所成的角…（2分）
∵四邊形AA₁C₁C與AA₁B₁B都是邊長為2的正方形，
∴$|{{A_1}C}|=|{{A_1}B}|=2\sqrt{2}$，
△A₁CB中，根據余弦定理，
得cos∠A₁CB=$\frac{2{\sqrt{2}}^{2}+{2}^{2}-2{\sqrt{2}}^{2}}{2×2\sqrt{2}×2}$=$\frac{4}{8\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$…（5分）
∴異面直線A₁C與B₁C₁所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{2}}{4}$…（6分）
（Ⅱ）∵△ABC的面積${S_{△ABC}}=\frac{{\sqrt{3}}}{4}×{2^2}=\sqrt{3}$，高CC₁=2，
∴正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的體積$V={S_{△ABC}}×C{C_1}=2\sqrt{3}$…（8分）
而三棱錐C₁-ABC與正三棱柱ABC-A₁B₁C₁同底等高，
∴三棱錐C₁-ABC的體積${V_{{C_1}-ABC}}=\frac{1}{3}{V_{ABC-{A_1}{B_1}{C_1}}}=\frac{2}{3}\sqrt{3}$，…（10分）
又∵${V_{C-AB{C_1}}}={V_{{C_1}-ABC}}$，
∴三棱錐C-ABC₁的體積為$\frac{2}{3}\sqrt{3}$…（12分）

點評 本題考查了幾何體中異面直線所成角的常規求解方法，對三棱錐的體積求解方法：公式法和等體積法；本題所考查的求異面直線所成角的方法和求三棱錐體積的等體積法，均要求學生掌握好，屬于中檔題．