Question

已知函數(shù)f（x）=-sin²x+2asinx+a-1，x∈R
（1）寫出函數(shù)f（x）的最大值的解析表達(dá)式g（a）；
（2）若f（x）≤1對(duì)一切x∈R恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）若把sinx看成一個(gè)整體，則f（x）是sinx的二次函數(shù)，且sinx∈[-1，1]，再按a與-1，1比較大小，分情況求出f（x）的最大值，即可得到f（x）的最大值的解析表達(dá)式g（a），為一個(gè)分段函數(shù)．
（2）若f（x）≤1對(duì)一切x∈R恒成立，f（x）的最大值小于等于1恒成立，再按（1）中分情況求出的f（x）的最大值來(lái)解含a的不等式，就可得到a的取值范圍．

解答：解：（1）令sinx=t，則t∈[-1，1]，
f（x）=-t²+2at+a-1=-（t-a）²+a²+a-1
當(dāng)a＜-1時(shí)，f（x）當(dāng)t=-1時(shí)有最大值為-a-2
當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，f（x）當(dāng)t=a時(shí)有最大值為a²+a-1
當(dāng)a＞1時(shí)，f（x）當(dāng)t=1時(shí)有最大值3a-2
∴函數(shù)f（x）的最大值的解析表達(dá)式g（a）=

-a-2        a＜-1 a2+a-1 3a-2            a＞1

-1≤a≤1
（2）∵（x）≤1對(duì)一切x∈R恒成立
∴f（x）的最大值小于等于1恒成立．
∴當(dāng)a＜-1時(shí)，-a-2≤1，解得-3≤a＜-1
當(dāng)-1≤a≤1時(shí)，a²+a-1≤1，解得-1≤a≤1
當(dāng)a＞1時(shí)，3a-2≤1，不成立
∴a的取值范圍為[-3，1]

點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)最值的求法，以及恒成立問題，做題時(shí)要分清情況，不要遺落．