Question

如圖，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，．
（Ⅰ）求證：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求四棱錐P-ABCD的體積．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根據底面是邊長為1的正方形，以及勾股定理，證明PA⊥AD，再根據PA⊥CD，AD∩CD=D，即可證明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）根據四棱錐P-ABCD的底面積為1，高為PA，即可求出四棱錐P-ABCD的體積．
解答：證明：（Ⅰ）因為四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形，

所以PD²=PA²+AD²，所以PA⊥AD
又PA⊥CD，AD∩CD=D
所以PA⊥平面ABCD
（Ⅱ）解：四棱錐P-ABCD的底面積為1，
因為PA⊥平面ABCD，所以四棱錐P-ABCD的高為1，
所以四棱錐P-ABCD的體積為：．
點評：本題考查直線與平面垂直的判定，棱柱、棱錐、棱臺的體積，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力，屬于中檔題．