Question

在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差數列．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）若a+c=4，求AC邊上中線長的最小值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知，2bcosB=ccosA+acosC，利用正弦定理，將邊b，c，a代換成sinB sinC sinA，再利用兩角和正弦公式求B
（Ⅱ）設AC邊上的中點為E，利用三邊a，b，c用余弦等量將中線BE表示出來，再用基本不等式求最小值．

解答：解：（Ⅰ）由題意得：2bcosB=ccosA+acosC，
2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
2sinBcosB=sinB，
sinB≠0，  ∴cosB=

1

2

，B=

π

3

．
（Ⅱ）如圖：設AC邊上的中點為E，
在△BAE中，由余弦定理得：BE2=c2+(

b

2

)2- 2c(

b

2

) cosA，
又cosA=

b2+c2-a2

2bc

，a²+c²-b²=ac代入上式，并整理得
BE²=

a2+c2+ac

4

=

(a+c)2-ac

4

=

16-ac

4

≥

16-( a+c 2 )2

4

=3，當a=c=2時取到”=”
所以AC邊上中線長的最小值為

3

．

點評：本題考查正弦、余弦定理的應用，用基本不等式求最值．考查分析解決、計算能力．