Question

橢圓過點，離心率為，左、右焦點分別為，過的直線交橢圓于兩點．

（Ⅰ）求橢圓C的方程；

（Ⅱ）當的面積為時，求直線的方程.

 

Answer 1

（1）；（2）直線方程為：或.

【解析】

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程及其幾何性質、直線的標準方程、直線與橢圓相交問題、三角形面積公式等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力、計算能力.第一問，由于橢圓過點A，將A點坐標代入得到a和b的關系式，再利用橢圓的離心率得到a與c的關系式，從而求出a和b，得到橢圓的標準方程；第二問，過的直線有特殊情況，即當直線的傾斜角為時，先討論，再討論斜率不不為的情況，將直線方程與橢圓方程聯立，利用韋達定理得到和，代入到三角形面積公式中，解出k的值，從而得到直線方程.

試題解析：（1）因為橢圓過點，所以①，又因為離心率為，所以，所以②，解①②得.

所以橢圓的方程為： （4分）

（2）①當直線的傾斜角為時，,

，不適合題意。 （6分）

②當直線的傾斜角不為時，設直線方程，

代入得： （7分）

設，則,,

，

所以直線方程為：或 （12分）

考點：橢圓的標準方程及其幾何性質、直線的標準方程、直線與橢圓相交問題、三角形面積公式.