Question

直線l：y=mx+1，雙曲線C：3x2﹣y2=1，問是否存在m的值，使l與C相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過原點．

 

Answer 1

存在m=1或m=﹣1使l與C相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過原點．

【解析】

試題分析：假設存在m值滿足條件，設A、B坐標分別為（x1，y1）（x2，y2），聯立直線方程與雙曲線方程，消掉y后得x的二次方程，有△＞0，由以AB為直徑的圓過原點得OA⊥OB，即，從而可轉化為關于A、B坐標的關系式，由直線方程可進一步化為x1，x2的式子，將韋達定理代入即可得m的方程，解出m后檢驗是否滿足△＞0即可．

【解析】
假設存在m值滿足條件，

設A、B坐標分別為（x1，y1）（x2，y2），

由得：（3﹣m2）x2﹣2mx﹣2=0，

則3﹣m2≠0，且△=4m2﹣4（3﹣m2）（﹣2）＞0，得m2＜6且m2≠3①，

由韋達定理有：，，

因為以AB為直徑的圓過原點，所以OA⊥OB，即，即x1x2+y1y2=0，

所以x1x2+（mx1+1）（mx2+1）=0，即（1+m2）x1x2+m（x1+x2）+1=0，

所以（1+m2）+m+1=0，解得m=±1，

故存在m=1或m=﹣1使l與C相交于A，B兩點，且以AB為直徑的圓過原點．