Question

13．求適合下列條件的曲線的標準方程：
（1）焦點在x軸上，焦距為4，并且經過點$P（3，-2\sqrt{6}）$的橢圓的標準方程；
（2）漸近線方程是$y=±\frac{1}{2}x$，且過點（2，2）的雙曲線的標準方程．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），由題意可得c=2，由a，b，c的關系和點滿足橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓的方程；
（2）由漸近線方程可設雙曲線的方程為y²-$\frac{1}{4}$x²=m（m≠0），代入點（2，2），解方程可得m，進而得到雙曲線的標準方程．

解答 解：（1）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得2c=4，即c=2，
a²-b²=4，
代入P的坐標，可得$\frac{9}{{a}^{2}}$+$\frac{24}{{b}^{2}}$=1，
解得a=6，b=4$\sqrt{2}$，
可得橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{36}$+$\frac{{y}^{2}}{32}$=1；
（2）由漸近線方程是$y=±\frac{1}{2}x$，
可設雙曲線的方程為y²-$\frac{1}{4}$x²=m（m≠0），
將（2，2）代入上式，可得4-$\frac{1}{4}$×4=m，
即m=3，
則雙曲線的標準方程為$\frac{{y}^{2}}{3}$-$\frac{{x}^{2}}{12}$=1．

點評 本題考查橢圓和雙曲線的方程的求法，注意運用待定系數法，考查化簡整理的運算能力，屬于基礎題．