Question

已知雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)到其漸近線的距離不大于

2 5

5

a，其離心率e的取值范圍為

 

．

Answer 1

分析：由題設(shè)條件知

ab

a2+b2

=

ab

c

≤

2 5

5

a，

b

c

≤

2

5

，

5

b≤2c，由此能推導(dǎo)出離心率e的取值范圍．

解答：解：雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的右頂點(diǎn)為（a，0），漸近線為bx±ay=0，
由題設(shè)條件知

ab

a2+b2

=

ab

c

≤

2 5

5

a，
∴

b

c

≤

2

5

，

5

b≤2c，
∴5（a²-c²）≤4c²，
∴5a²≤9c²，∴e2≥

5

9

，∴e≥

5

3

．
故答案為：[

5

3

，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的靈活運(yùn)用．