Question

已知函數f（x）的定義域是且f（x）+f（2-x）=0，，當時，f（x）=3^x．
（1）求證：f（x）是奇函數；
（2）求f（x）在區間Z）上的解析式；
（3）是否存在正整數k，使得當x∈時，不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k有解？證明你的結論．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中，可得，進而結合f（x）+f（2-x）=0，可得f（x）+f（-x）=0，結合奇函數的定義，可得答案．
（2）由已知中當時，f（x）=3^x．結合（1）中結論，可得f（x）在區間Z）上的解析式；
（3）由（2）的結論及指數的運算性質，我依次為可將不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k轉化為二次不等式的形式，進而分析出對應函數在區間上的單調性，即可得到結論．
解答：解：（1）由得，（3分）
由f（x）+f（2-x）=0得f（x）+f（-x）=0，（4分）
故f（x）是奇函數．（5分）
（2）當x∈時，，
∴f（1-x）=3^1-x．     （7分）
而，
∴f（x）=3^x-1．       （9分）
當x∈Z）時，，
∴f（x-2k）=3^x-2k-1，
因此f（x）=f（x-2k）=3^x-2k-1．                      （11分）
（3）不等式log₃f（x）＞x²-kx-2k即為x-2k-1＞x²-kx-2k，
即x²-（k+1）x+1＜0．                          （13分）
令g（x）=x²-（k+1）x+1，對稱軸為，
因此函數g（x）在上單調遞增．         （15分）
因為，又k為正整數，
所以，因此x²-（k+1）x+1＞0在上恒成立，（17分）
因此不存在正整數k使不等式有解．                     （18分）
點評：本題考查的知識點是對數函數圖象與性質的綜合應用，其中（1）的關鍵由已知條件得到f（x）+f（-x）=0，（2）的關鍵是由已知判斷出f（x）=f（x-2k），（3）的關鍵是根據（2）的結論構造關于k的不等式．